Question

（2012•相城區(qū)一模）已知：Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線(xiàn)OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段PC把Rt△OAB分割成兩部分，若分割得到的三角形與Rt△OAB相似，則符合條件的C點(diǎn)有

3

個(gè)．

Answer 1

分析：按照公共銳角進(jìn)行分類(lèi)，可以分為兩種情況：當(dāng)∠BOA為公共銳角時(shí)，只存在∠PCO為直角的情況；當(dāng)∠B為公共銳角時(shí)，存在∠PCB和∠BPC為直角兩種情況．如圖，C₁（3，0），C₂（6，4），C₃（6，

7

4

）．

解答：解：過(guò)P作PC₁⊥OA，垂足是C₁，
則△OC₁P∽△OAB．
點(diǎn)C₁坐標(biāo)是（3，0）．（2分）
過(guò)P作PC₂⊥AB，垂足是C₂，
則△PC₂B∽△OAB．
點(diǎn)_C2坐標(biāo)是（6，4）．（4分）
過(guò)P作PC₃⊥OB，垂足是P（如圖），
則△C₃PB∽△OAB，
所以BC₃：BO=BP：BA．（6分）
易知OB=10，BP=5，BA=8，
所以BC₃=

25

4

，AC3=8-

25

4

=

7

4

．（8分）
所以C₃（6，

7

4

）．（9分）
符合要求的點(diǎn)C有3個(gè)．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題實(shí)質(zhì)上是畫(huà)直角三角形OAB的相似三角形，只不過(guò)所畫(huà)的相似三角形點(diǎn)P已經(jīng)確定了，所以要根據(jù)網(wǎng)格找出三邊的長(zhǎng)，再利用對(duì)應(yīng)邊的比相等，畫(huà)出相似三角形．