31、已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．
“若點P在一邊BC上（如圖1），此時h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h”
請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：
（1）當點P在△ABC內(nèi)（如圖2），（2）點P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，h1、h2、h3與h之間的關(guān)系如何？請寫出你的猜想，不需證明．
分析：（1）當點P在△ABC內(nèi)時，結(jié)論h1+h2+h3=h仍然成立．過點P作BC的平行線，交AB于G，交AC于H，交AM于N，則運用題目結(jié)論得出h1+h2=AN，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）當點P在△ABC外時，結(jié)論h1+h2+h3=h不成立．此時，它們的關(guān)系是h1+h2-h3=h．過點P作BC的平行線，交AB的延長線于G，交AC的延長線于H，交AM的延長線于N，則運用題目結(jié)論得出h1+h2=AN，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）當點P在△ABC內(nèi)時，結(jié)論h1+h2+h3=h仍然成立．
理由如下：過點P作BC的平行線，交AB于G，交AC于H，交AM于N，則可得結(jié)論h1+h2=AN．
∵四邊形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．
∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，
即h1+h2+h3=h．

（2）當點P在△ABC外時，結(jié)論h1+h2+h3=h不成立．此時，它們的關(guān)系是h1+h2-h3=h．
理由如下：過點P作BC的平行線，與AB、AC、AM分別相交于G、H、N，則可得結(jié)論h1+h2=AN．
∵四邊形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．
∴h1+h2-h3=AN-MN=AM=h，
即h1+h2-h3=h．
點評：本題考查了學生的理解能力及知識的遷移能力．通過作輔助線使h3=0，從而運用題目結(jié)論h1+h2+h3=h是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．
在圖（1）中，點P是邊BC的中點，此時h3=0，可得結(jié)論：h1+h2+h3=h．
在圖（2），（3），（4），（5）中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內(nèi)、△ABC外．
（1）請?zhí)骄浚簣D（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之間的關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）圖②-⑤中的關(guān)系依次是：
h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；
（2）證明圖（2）所得結(jié)論；
（3）證明圖（4）所得結(jié)論；
（4）（附加題2分）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，點P在梯形內(nèi)，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4，橋形的高為h，則h1、h2、h3、h4、h之間的關(guān)系為：h1+h3+h4=
mhm-n
．圖（4）與圖（6）中的等式有何關(guān)系．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．在圖①中，點P是邊BC的中點，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，
1
2
AB．h1+
1
2
AC．h2=
1
2
BC．h，可得h1+h2=h又因為h3=0，所以：h1+h2+h3=h．
圖②～⑤中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內(nèi)、△ABC外．
（1）請?zhí)骄浚簣D②～⑤中，h1、h2、h3、h之間的關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）
（2）說明圖②所得結(jié)論為什么是正確的；
（3）說明圖⑤所得結(jié)論為什么是正確的．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•臨夏州）[（1）-（3），10分]如圖，已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．
在圖（1）中，點P是邊BC的中點，此時h3=0，可得結(jié)論：h1+h2+h3=h．
在圖（2）--（5）中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內(nèi)、△ABC外．
（1）請?zhí)骄浚簣D（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之間的關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）
（2）證明圖（2）所得結(jié)論；
（3）證明圖（4）所得結(jié)論．
（4）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，點P在梯形內(nèi)，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4，橋形的高為h，則h1、h2、h3、h4、h之間的關(guān)系為：
m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h
m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h
；圖（4）與圖（6）中的等式有何關(guān)系？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊的AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，請你探索以下問題：
（1）若點P在一邊BC上（圖1），此時h3=0，問h1、h2與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（2）若當點P在△ABC內(nèi)（圖2），此時h1、h2、h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）若點P在△ABC外（圖3），此時h1、h2、h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系
h=h1+h2-h3
h=h1+h2-h3
．（請直接寫出你的猜想，不需要說明理由．）

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