Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點A、B，與y軸分別交于點C，其中點，點，且.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是線段AB上一動點，過P作交BC于D，當面積最大時，求點P的坐標；

（3）點M是位于線段BC上方的拋物線上一點，當恰好等于中的某個角時，求點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，S最大，此時；（3）或

【解析】

（1）先根據(jù)射影定理求出點，設(shè)拋物線的解析式為：，將點代入求出，然后化為一般式即可；

（2）過點P作y軸的平行線交BC于點E，設(shè)，用待定系數(shù)法分別求出直線BC，直線AC，直線PD的解析式，表示出點E，點D的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式列出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）分兩種情況求解：當時和當時.

（1）∵，，

∴，.

∵，

∴由射影定理可得：，

∴，∴點，

設(shè)拋物線的解析式為：，將點代入上式得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）過點P作y軸的平行線交BC于點E，設(shè)，

設(shè)，

把，代入得

，

∴，

∴，

∴，

同樣的方法可求，

故可設(shè)，把代入得，

聯(lián)立解得：，

∴，

，

故當時，S最大，此時；

（3）由題知，，

當時，，

∴點C與點M關(guān)于對稱軸對稱，

∴；

當時，過M作于F，過F作y軸的平行線，交x軸于G，交過M平行于x軸的直線于K，

∵∠，BFM=∠BGF，

∴△MFK∽△FGB，

同理可證：，

∴，，

設(shè)，則，

∴，

∴，代入，

解得

，或（舍去），

∴，

故或.