Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝.點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，且∠EDC＝∠A.將△ABC沿DE所在直線對折，若點(diǎn)C恰好落在邊AB上，則DE的長為___．

Answer 1

【答案】

【解析】

把△ABC沿DE對折，點(diǎn)C恰好落在AB的F點(diǎn)處，CF與DE相交于O點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE⊥CF，OC=OF，再根據(jù)等角的余角相等得∠1=∠EDC，而∠EDC=∠A，則∠1=∠A，所以FC=FA，同理可得FC=FB，于是有CF=AB，OC=AB，然后根據(jù)正切的定義和勾股定理得到BC=4，AB=5，所以OC=，再分別在Rt△OEC和Rt△ODC中，利用正切的定義計(jì)算出OE=，OD=，再計(jì)算OE+OD即可．

把△ABC沿DE對折，點(diǎn)C恰好落在AB的F點(diǎn)處，CF與DE相交于O點(diǎn)，如圖，

∴DE⊥CF，OC=OF，

∵∠EDC+∠OCD=90°，∠1+∠OCD=90°，

∴∠1=∠EDC，

而∠EDC=∠A，

∴∠1=∠A，

∴FC=FA，

同理可得FC=FB，

∴CF=AB，

∴OC=AB，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，

∴tanA= ，

∴BC=4，

∴AB==5，

∴OC=，

在Rt△OEC中，tan∠1=tan∠A=，

∴OE=，

在Rt△ODC中，tan∠ODC=tan∠A=，

∴OD=，

∴DE=OD+OE=+=．

故答案為．