Question

10．如圖，有一塊形如等腰直角三角形的木板，直角邊長為a，要用它截出一塊矩形木板DEFG，則矩形木板DEFG的面積不可能是（　　）

• A． $\frac{{a}^{2}}{6}$
• B． $\frac{{a}^{2}}{5}$
• C． $\frac{{a}^{2}}{4}$
• D． $\frac{{a}^{2}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)DG為x，過點A作AH⊥BC，交DG于點M，垂足為H，根據(jù)已知條件可知△ADG∽△ABC，從而可以用含x的代數(shù)式表示AM，利用矩形面積公式可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)公式法，結(jié)合已求得的二次函數(shù)解析式求得最大值，進一步分析得出答案即可．

解答 解：（1）如圖所示，

過點A作AH⊥BC，垂足為H，交DG于點M，
在Rt△ABC中，AB=AC=a，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{2}$a．
∵AH⊥BC，
∴△ABH為等腰直角三角形．
∴AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵四邊形DEFG是矩形，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC．
∴$\frac{AM}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$，設(shè)DG為x，
即$\frac{AM}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{x}{\sqrt{2}a}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$x
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-$\frac{1}{2}$x．
∴矩形木板DEFG的面積y=x（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ax；
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，函數(shù)有最大值，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ax=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a時，
y_最大值=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
即矩形木板DEFG的面積最大是$\frac{{a}^{2}}{4}$．
只有D選項不合題意．
故選：D．

點評 此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，利用相似的性質(zhì)和矩形的面積求得二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．