Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm．把△ABC以點B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上得到Rt△A₁BC₁．
（1）作出Rt△A₁BC₁（不要求寫作法）；
（2）用陰影表示旋轉(zhuǎn)過程中邊AC掃過的圖形，然后求出它的面積（結(jié)果用π表示）．

Answer 1

分析：（1）畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°以后的圖形即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知Rt△ABC≌Rt△A₁BC₁．所以旋轉(zhuǎn)過程中邊AC掃過的圖形面積即陰影部分的面積=扇形A₁BA的面積+△A₁BC₁的面積-扇形CBC₁的面積-△ABC的面積=扇形A₁BA的面積-扇形CBC₁的面積．

解答：解：（1）如圖，Rt△A₁BC₁為所作．
（2）AC掃過的圖形如圖中陰影部．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°AB=6cm
∴BC=3cm∠ABC=60°∠ABA₁=120°
以B為圓心作弧交AB于D，據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，陰影面積S陰影=

120π×62

360

-

120π×32

360

=12π-3π=9π(cm)2
答：AC掃過的圖形面積為9π（cm）²．

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形的畫法及面積的計算．