Question

如圖1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A，B在第一象限內(nèi)．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，連結(jié)PN,設(shè)PE=x.△PMN的面積為S.
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由.若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′（如圖3）;試探究：在運(yùn)動(dòng)過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

（1）E（1，），AB=2（2）①②（3）y=-t+,y= ²

解：（1）E（1，），AB=2（ 4分）
（2）①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，S=，當(dāng)時(shí)，（2分）
②若0≤x≤1時(shí)，S=                  
若時(shí)，∵-＜0 ∴S隨x的增大而減小∴S不存在最大值                         
∴綜上所述，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，S存在最大值，最大值為 (2分)
（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內(nèi)部，
這時(shí)重疊部分的面積即為直角梯形面積，y=×（2+3）×=
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，y=×（4-t+5-t）×=-t+
當(dāng)4＜t≤5時(shí)，y=(5-t)××(5-t)= ²（4分）
（1）過點(diǎn)E作OC的垂線EW，垂足為W，解直角三角形EOW可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，
以及線段AB的值
(2)中利用線線平行和已知的AO=MN，求三角形PMN面積,只需要求解高即可，利用給出的x分類討論，0≤x≤1和當(dāng)時(shí)點(diǎn)到兩種不同的結(jié)果，然后根據(jù)得到的面積表達(dá)式為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最值。
（3）根據(jù)梯形運(yùn)行的時(shí)間可知，求解的面積公式需要分類討論。當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內(nèi)部，這時(shí)重疊部分的面積即為直角梯形面積
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，和當(dāng)4＜t≤5時(shí)，結(jié)合梯形面積公式得到結(jié)論。