Question

【題目】下面是小星同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程：

已知：如圖，直線(xiàn)l和直線(xiàn)l外一點(diǎn)A

求作：直線(xiàn)AP，使得AP∥l

作法：如圖

①在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)B（AB與l不垂直），以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與直線(xiàn)l交于點(diǎn)C．

②連接AC，AB，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D；

③作∠DAC的平分線(xiàn)AP．

所以直線(xiàn)AP就是所求作的直線(xiàn)

根據(jù)小星同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明

證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB　 　（填推理的依據(jù)）

∵∠DAC是△ABC的外角，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB　 　（填推理的依據(jù)）

∴∠DAC＝2∠ABC

∵AP平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠DAP

∴∠DAP＝∠ABC

∴AP∥l　 　（填推理的依據(jù)）

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）（等邊對(duì)等角），（三角形外角性質(zhì)），（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）．

【解析】

（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖即可得；
（2）分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)和平行線(xiàn)的判定求解可得．

解：（1）如圖所示，直線(xiàn)AP即為所求．

（2）證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB（等邊對(duì)等角），

∵∠DAC是△ABC的外角，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性質(zhì)），

∴∠DAC＝2∠ABC，

∵AP平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠DAP，

∴∠DAP＝∠ABC，

∴AP∥l（同位角相等，兩直線(xiàn)平行），

故答案為（等邊對(duì)等角），（三角形外角性質(zhì)），（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）．