Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點M為射線AE上任意一點（不與點A重合），連接CM，將線段CM繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM，射線AE于點F、D．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：直接寫出∠NDE=度；
（2）拓展探究：試判斷，如圖②當(dāng)∠EAC為鈍角時，其他條件不變，∠NDE的大小有無變化？請給出證明．

（3）如圖③，若∠EAC=15°，BD= ，直線CM與AB交于點G，其他條件不變，請直接寫出AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）解：∠NDE的大小不變，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠N=∠AMC，

又∵∠MFD=∠NFC，

∴∠MDF=∠FCN=90°，

即∠NDE=90°

（3）解：AC=2，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠NBC=∠MAC=15°，

如圖③，設(shè)BC與AD交于點H，

又∵∠AHC=∠BHD，

∴∠BDH=∠ACH=90°，

∴在Rt△ABD中，∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°

∵BD= ，

∴AB=2 ，

∴AC=ABcos45°=2．

【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，

∴∠ACM=∠BCN，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠NBC=∠MAC=90°，

又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，

∴∠NDE=90°．

所以答案是：90．

【考點精析】通過靈活運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．