Question

【題目】我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在網(wǎng)格格點(diǎn)上，請你在如下的57的網(wǎng)格中畫出3個(gè)不同形狀的等鄰邊四邊形ABCD，要求頂點(diǎn)D在網(wǎng)格格點(diǎn)上；

（2）如圖2，矩形ABCD中，AB=，BC=5，點(diǎn)E在BC邊上，連結(jié)DE畫AFDE于點(diǎn)F，若DE=CD，找出圖中的等鄰邊四邊形；

（3）如圖3，在RtABC中，ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ACDM是“等鄰邊四邊形”時(shí)，求BM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABEF和四邊形ABED都是等鄰邊四邊形；（3）當(dāng)BM為2或3或時(shí)，四邊形ACDM是“等鄰邊四邊形”．

【解析】

（1）根據(jù)”等鄰邊四邊形”的定義畫出3個(gè)不同形狀的等鄰邊四邊形；

（2）根據(jù)題意求出DE，根據(jù)勾股定理求出CE，計(jì)算得到BE=AB，根據(jù)等鄰邊四邊形的定義判斷即可；

（3）分AM=AC、DM=DC、MA=MD三種情況，根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

（1）3個(gè)不同形狀的等鄰邊四邊形ABCD如圖所示：

（2）四邊形ABEF和四邊形ABED都是等鄰邊四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=5，CD=AB=，

∴DE=CD=，

由勾股定理得，CE==，

∴BE=BC-CE=5-=，

∴BE=AB，

∴四邊形ABEF和四邊形ABED都是等鄰邊四邊形；

（3）①當(dāng)AM=AC時(shí)，BM=2；

②當(dāng)DM=DC時(shí)，如圖3，作DH⊥AB于H，

∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，

∴BC=，∠B=30°，

∴BD=DM=，

在Rt△BDH中，BH=BD×cosB=，

∵DM=DB，DH⊥AB，

∴BM=2BH=3；

③當(dāng)MA=MD時(shí)，如圖4，作DH⊥AB于H，

設(shè)MA=MD=x，

由②得，BH=，DH=，

則MH=4-x-=-x，

在Rt△MDH中，DM2=MH2+DH2，即x2=（-x）2+（）2，

解得，x=，即AM=，

∴BM=4-=，

綜上所述，當(dāng)BM為2或3或時(shí)，四邊形ACDM是“等鄰邊四邊形”．