Question

【題目】如圖，矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，則的值是________

Answer 1

【答案】3或6

【解析】

分兩種情況討論：①當(dāng)∠AFE＝90°時(shí)，易知點(diǎn)F在對角線AC上，設(shè)DE＝x，則AE、EF均可用x表示，在Rt△AEF中利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于x的方程即可；②當(dāng)∠AEF＝90°時(shí)，易知F點(diǎn)在BC上，且四邊形EFCD是正方形，從而可得DE＝CD．

解：當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，∠EAF的角度最大，但∠EAF小于90°，

所以∠EAF不可能為90°，

分兩種情況討論：

①當(dāng)∠AFE＝90°時(shí)，如圖1所示，

根據(jù)折疊性質(zhì)可知∠EFC＝∠D＝90°，

∴A、F、C三點(diǎn)共線，即F點(diǎn)在AC上，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝，

∴AF＝ACCF＝ACCD＝106＝4，

設(shè)DE＝x，則EF＝x，AE＝8x，

在Rt△AEF中，利用勾股定理可得AE2＝EF2＋AF2，

即（8x）2＝x2＋42，

解得x＝3，即DE＝3；

②當(dāng)∠AEF＝90°時(shí)，如圖2所示，則∠FED＝90°，

∵∠D＝∠BCD＝90°，DE＝EF，

∴四邊形EFCD是正方形，

∴DE＝CD＝6，

故答案為：3或6．