Question

在平面直角坐標(biāo)系XOY中，直線l₁過點(diǎn)A（1，0）且與y軸平行，直線l₂過點(diǎn)B（0，2）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點(diǎn)P．點(diǎn)E為直線l₂上一點(diǎn)，反比例函數(shù)（k＞0）的圖象過點(diǎn)E與直線l₁相交于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△PEF全等？若存在，求E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy進(jìn)行解答即可；
（2）當(dāng)k＞2時(shí)，點(diǎn)E、F分別在P點(diǎn)的右側(cè)和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD為矩形，再求出S_△FPE=k²-k+1，根據(jù)S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△EGF-S_△OCE即可求出k的值，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）①當(dāng)k＜2時(shí)，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，求出k的值，進(jìn)而可得出E點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)k＞2時(shí)，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，=，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，求出k的值，進(jìn)而可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，則k=1×2=2；

（2）當(dāng)k＞2時(shí)，如圖1，
點(diǎn)E、F分別在P點(diǎn)的右側(cè)和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD為矩形，
∵PF⊥PE，
∴S_△FPE=PE•PF=（-1）（k-2）=k²-k+1，
∴四邊形PFGE是矩形，
∴S_△PFE=S_△GEF，
∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△EGF-S_△OCE=•k--（k²-k+1）-=k²-1
∵S_△OEF=2S_△PEF，
∴k²-1=2（k²-k+1），
解得k=6或k=2，
∵k=2時(shí)，E、F重合，
∴k=6，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2）；

（3）存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得△MEF≌△PEF，
①當(dāng)k＜2時(shí)，如圖2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，
∵△FHM∽△MBE，
∴=，
∵FH=1，EM=PE=1-，F(xiàn)M=PF=2-k，
∴=，BM=，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，
∴（1-）²=（）²+（）²，
解得k=，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，2），

②當(dāng)k＞2時(shí)，如圖3，
只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，=，
∵FQ=1，EM=PF=k-2，F(xiàn)M=PE=-1，
∴=，BM=2，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，
∴（k-2）²=（）²+2²，解得k=或0，但k=0不符合題意，
∴k=．
此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，2），
∴符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）（，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解答．