Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′．寫出點(diǎn)M′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+m，S的最大值為：；（3）M′的坐標(biāo)為：（，）．

【解析】

（1）利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；
（2）連接OM，設(shè)M的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），然后根據(jù)面積關(guān)系將△ABM的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
（3）當(dāng)S取得最大值時(shí)，此時(shí)，m=，則y=-m2+2m+3=，即可求解．

（1）令x=0代入y=-3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2-2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=-1，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）連接OM，

令y=0代入y=-x2+2x+3，
∴0=-x2+2x+3，
∴x=-1或3，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1和3，
∵M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴A的坐標(biāo)為（1，0），
由題意知：M的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），
S=S四邊形OAMB-S△AOB
=S△OBM+S△OAM-S△AOB
=×m×3+×1×（-m2+2m+3）-×1×3

∴當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值 ．

（3）當(dāng)S取得最大值時(shí)，此時(shí)，m＝，

則y＝﹣m2+2m+3＝，

故點(diǎn)M′的坐標(biāo)為：（，）．