Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，CD＝1，延長(zhǎng)AC到E，使AE＝AB，連接DE，BE．

(1)求BD的長(zhǎng)；

(2)求證：DA＝DE．

Answer 1

【答案】(1)BD＝2；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意可知∠CAB=60°，想辦法證明DA=DB=2CD即可；

（2）由題意可知三角形ABE是等邊三角形，然后在證明Rt△DCA≌Rt△DCE，即可求證．

(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB，

∴∠CAB＝60°＝2×∠CAD，

∴∠CAD＝∠DAB＝30°；，

∴∠DAB＝∠DBA＝30°，

∴BD＝DA＝2CD＝2．

(2)∵AE＝AB，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠EAB＝60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∵BC⊥AE，

∴AC＝CE，

∵∠ACD＝∠DCE＝90°，CD＝CD，

∴Rt△DCA≌Rt△DCE(SAS)，

∴DA＝DE．