【題目】(12分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí),兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求線段CD的長(zhǎng);
(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△CPQ為等腰三角形?
【答案】(1)4.8;(2)t=或t=3;(3)t=2.4秒或秒或秒.
【解析】試題分析:(1)利用勾股定理可求出AB長(zhǎng),再用等積法就可求出線段CD的長(zhǎng).
(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC,垂足為H,通過(guò)三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH,從而可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;利用=9:100建立t的方程,解方程即可解決問(wèn)題.
(3)可分三種情況進(jìn)行討論:由CQ=CP可建立關(guān)于t的方程,從而求出t;由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關(guān)于t的方程,可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似,即可建立關(guān)于t的方程,從而求出t.
試題解析:(1)如圖1,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=BC·AC=AB·CD.
∴CD===4.8.
∴線段CD的長(zhǎng)為4.8;
(2)①過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC,垂足為H,如圖2所示.
由題可知DP=t,CQ=t.
則CP=4.8﹣t.
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B.
∵PH⊥AC,
∴∠CHP=90°.
∴∠CHP=∠ACB.
∴△CHP∽△BCA.
∴.
∴.
∴PH= .
∴=CQ·PH=t·()= ;
②存在某一時(shí)刻t,使得=9:100.
∵=×6×8=24,且=9:100,
∴():24=9:100.
整理得:5t2﹣24t+27=0.
即(5t﹣9)(t﹣3)=0.
解得:t=或t=3.
∵0≤t≤4.8,
∴當(dāng)t=秒或t=3秒時(shí), =9:100;
(3)存在
①若CQ=CP,如圖1,
則t=4.8﹣t.
解得:t=2.4.
②若PQ=PC,如圖2所示.
∵PQ=PC,PH⊥QC,
∴QH=CH=QC=.
∵△CHP∽△BCA.
∴.
∴.
解得;t=.
③若QC=QP,
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥CP,垂足為E,如圖3所示.
同理可得:t=.
綜上所述:當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時(shí),△CPQ為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,E是直線AB,CD內(nèi)部一點(diǎn),AB∥CD,連接EA,ED.
(1)探究猜想:
①若∠A=20°,∠D=40°,則∠AED=
②猜想圖①中∠AED,∠EAB,∠EDC的關(guān)系,并用兩種不同的方法證明你的結(jié)論.
(2)拓展應(yīng)用:
如圖②,射線FE與l1 , l2交于分別交于點(diǎn)E、F,AB∥CD,a,b,c,d分別是被射線FE隔開(kāi)的4個(gè)區(qū)域(不含邊界,其中區(qū)域a,b位于直線AB上方,P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn),猜想:∠PEB,∠PFC,∠EPF的關(guān)系(任寫(xiě)出兩種,可直接寫(xiě)答案).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是( )
A. 若兩個(gè)多邊形相似,則對(duì)應(yīng)邊的比相等
B. 若兩個(gè)多邊形相似,則對(duì)應(yīng)角的比等于對(duì)應(yīng)邊的比
C. 若兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,則這兩個(gè)多邊形相似
D. 若兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,則這兩個(gè)多邊形相似
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,直線AB、CD、EF都經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且AB⊥CD,OG平分∠BOE,如果∠EOG= ∠AOE,求∠EOG和∠DOF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD , E 是CB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn),下列推理正確的是( )
A.如果∠1=∠2 ,那么AB∥CD
B.如果∠3=∠4 ,那么 AD∥BC
C.如果AD∥BC , 那么∠6+∠BAD=180°.
D.如果∠6+∠BCD=180°,那么AD∥BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AD,將△ACD沿AD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′,連結(jié)C′D交AB于點(diǎn)E,連結(jié)BC′.當(dāng)△BC′D是直角三角形時(shí),DE的長(zhǎng)為_____.
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