Question

【題目】如圖，點A1（1，）在直線y=kx上，過點A1作A1B1∥y軸交直線y=x于點B1，以A1B1為邊在A1B1的右側作正方形A1B1C1D1，直線C1D1分別交直線y=kx和y=x于A2，B2兩點，以A2B2為邊在A2B2的右側作等正方形A2B2C2D2…，直線C2D2分別交直線y=kx和y=x于A3，B3兩點，以A3B3為邊在A3B3的右側作正方形A3B3C3D3，…，按此規(guī)律進行下去，則正方形AnBnCnDn的面積為____________．（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】4n-1

【解析】

先根據(jù)點A1的坐標以及A1B1∥y軸，求得B1的坐標，進而得到A1B1的長以及正方形A1B1C1D1的面積，再根據(jù)A2的坐標以及A2B2∥y軸，求得B2的坐標，進而得到A2B2的長以及正方形A2B2C2D2的面積，最后根據(jù)變換規(guī)律，求得AnBn的長，進而得出正方形AnBnCnDn的面積即可．

∵點A1（1，）在直線y=kx上，

∴k=，y=x．

∵A1B1∥y軸交直線y=x于點B1，

∴B1（1，），

∴A1B1=-=1，即正方形A1B1C1D1的面積=12=1；

∵B1C1=A1B1=1，

∴A2（2，3），

又∵A2B2∥y軸，交直線y=x于點B2，

∴B2（2，1），

∴A2B2=3-1=2，即正方形A2B2C2D2的面積=22=4；

以此類推，

A3B3=4，即正方形A3B3C3D3的面積=42=16；

A4B4=8，即△A4B4C4面積=82=64=43；

…

∴AnBn=2n-1，即正方形AnBnCnDn的面積=（2n-1）2=4n-1．

故答案為4n-1．