【題目】如圖:△ABC是等邊三角形,AB=12,E是AC中點,D是直線BC上一動點,線段ED繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得線段EF,當點D運動時,則線段AF的最小值為_____.
【答案】3+3
【解析】
連接BE,延長EC到N,使EN=BE,連接FN,過點A作AG⊥BC于G,過點A作AH⊥FN于H,由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AB=12,AE=EC=6,BE⊥AC,∠GAC=∠EBC=30°,BE=6=EN,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=EF,∠DEF=90°,由“SAS“可證△BED≌△NEF,可得∠EBC=∠ENF=30°,可得點F在過點N且平行于AG的直線上,當AF⊥FN時,AF的值最小,由直角三角形的性質(zhì)可求線段AF的最小值.
解:如圖,連接BE,延長EC到N,使EN=BE,連接FN,過點A作AG⊥BC于G,過點A作AH⊥FN于H,
∵△ABC是等邊三角形,AB=12,E是AC中點,AG⊥BC,
∴AC=AB=12,AE=EC=6,BE⊥AC,∠GAC=∠EBC=30°,BE==6=EN,
∵線段ED繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,
∴DE=EF,∠DEF=90°,
∵∠BEC=∠DEF=90°,
∴∠BED=∠FEN,且DE=EF,BE=EN,
∴△BED≌△NEF(SAS),
∴∠EBC=∠ENF=30°,
∴∠GAC=∠ENF,
∴AG∥NF,
∴點F在過點N且平行于AG的直線上,
∴當AF⊥FN時,AF的值最小,
∵AH⊥FN,∠ENF=30°,
∴AH=AN=(6+6)=3+3,
∴線段AF的最小值為3+3,
故答案為:3+3.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點是雙曲線上的一個動點,連接并延長交雙曲線于點將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段若點在雙曲線上運動,則_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小明同學(xué)設(shè)計的“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.
已知:如圖1,和外的一點.
求作:過點作的切線.
作法:如圖2,
①連接;
②作線段的垂直平分線,直線交于;
③以點為圓心,為半徑作圓,交于點和;
④作直線和.
則,就是所求作的的切線.
根據(jù)上述作圖過程,回答問題:
(1)用直尺和圓規(guī),補全圖2中的圖形;
(2)完成下面的證明:
證明:連接,,
∵由作圖可知是的直徑,
∴(______)(填依據(jù)),
∴,,
又∵和是的半徑,
∴,就是的切線(______)(填依據(jù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是 ( )
A.要調(diào)查現(xiàn)在人們在數(shù)學(xué)化時代的生活方式,宜采用普查方式
B.一組數(shù)據(jù)3,4,4,6,8,5的中位數(shù)是4
C.必然事件的概率是100%,隨機事件的概率大于0而小于1
D.若甲組數(shù)據(jù)的方差=0.128,乙組數(shù)據(jù)的方差=0.036,則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象和性質(zhì)時,經(jīng)歷以下幾個學(xué)習過程:
(1)列表(完成以下表格)
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
y1=x2-4x+3 | … | 15 | 8 | 0 | 0 | 3 | 15 | … | |||
y=|x2-4x+3| | … | 15 | 8 | 0 | 0 | 3 | 15 | … |
(2)描點并畫出函數(shù)圖象草圖(在備用圖1中描點并畫圖)
(3)根據(jù)圖象完成以下問題
(ⅰ)觀察圖象
函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象可由函數(shù)y1=x2-4x+3的圖象如何變化得到?
答:______.
(ⅱ)數(shù)學(xué)小組探究發(fā)現(xiàn)直線y=8與函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象交于點E、F,E(-1,8),F(5,8),則不等式|x2-4x+3|>8的解集是______;
(ⅲ)設(shè)函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象與x軸交于A、B兩點(B位于A的右側(cè)),與y軸交于點C.
①求直線BC的解析式;
②探究應(yīng)用:將直線BC沿y軸平移m個單位后與函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象恰好有3個交點,求此時m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線于點G,CE的延長線交DA的延長線于點H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系?請說明理由;
(3)設(shè)AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請求出定值.
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=(k是常數(shù)).
(1)若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點,試求k的取值范圍;
(2)若點(1,k)在某反比例函數(shù)圖象上,要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=都是y隨x的增大而增大,求k應(yīng)滿足的條件及x的取值范圍;
(3)若拋物線y=與x軸交于A(,0)、B(,0)兩點,且<,=34,若與y軸不平行的直線y=ax+b經(jīng)過點P(1,3),且與拋物線交于(,)、(,)兩點,試探究是否為定值,并寫出探究過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P在第一象限的拋物線上,且點P的橫坐標為t,過點P向x軸作垂線交直線BC于點Q,設(shè)線段PQ的長為m,求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出m的最大值;
(3)在(2)的條件下,拋物線上點D(不與C重合)的縱坐標為m的最大值,在x軸上找一點E,使點B、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形,請直接寫出E點坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景:如圖1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于點D,則D為BC的中點,∠BAD=∠BAC=60°,于是 = =;
遷移應(yīng)用:如圖2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三點在同一條直線上,連接BD.
①求證:△ADB≌△AEC;
②請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式;
拓展延伸:如圖3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC內(nèi)作射線BM,作點C關(guān)于BM的對稱點E,連接AE并延長交BM于點F,連接CE,CF.
①證明△CEF是等邊三角形;
②若AE=5,CE=2,求BF的長.
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