Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，5），且過點(diǎn)D（1，8），M為其頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△MCB的面積？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴ ，

解方程組，得 ，

故拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5

（2）解：過點(diǎn)M作MN∥y軸交BC軸于點(diǎn)N，則△MCB的面積=△MCN的面積+△MNB的面積= MNOB．

∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣（x﹣2）2+9，

∴M（2，9），B（5，0），

由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)易求得直線BC的解析式為：y=﹣x+5，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣2+5=3，則N（2，3），

則MN=9﹣3=6，

則S△MCB= ×6×5=15

（3）解：在拋物線上存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△MCB的面積．理由如下：

∵A（﹣1，0），B（5，0），

∴AB=6，

∵△PAB的面積=△MCB的面積，

∴ ×6×|yP|=15，

∴|yP|=5，yP=±5．

當(dāng)yP=5時(shí)，﹣x2+4x+5=5，解得x1=0，x2=4；

當(dāng)yP=﹣5時(shí)，﹣x2+4x+5=﹣5，解得x3=2+ ，x4=2﹣ ．

故在拋物線上存在點(diǎn)P1（0，5），P2（4，5），P3（2+ ，﹣5），P3（2﹣ ，﹣5），使△PAB的面積等于△MCB的面積．

【解析】（1）由A、C、D三點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)M作MN∥y軸交BC軸于點(diǎn)N，則△MCB的面積=△MCN的面積+△MNB的面積= MNOB；（3）先由△PAB的面積等于△MCB的面積，求出AB邊上的高即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，再將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到一元二次方程，如果方程有實(shí)數(shù)根，則在拋物線上存在點(diǎn)P，否則不存在．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．)．