Question

【題目】如圖，AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，弦CD與AB、BF分別相交于點E、G，過點F的切線HF與DC的延長線相交于點H，且HF＝HG.

（1）求證：AB⊥CD；

（2）若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半徑長.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）2

【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)首先求出 進而得出,可得出
（2）連接AF，首先得出 利用銳角三角函數(shù)得出AB即可得出半徑．

試題解析：（1）連接OF.

∵OF=OB，

∴∠OFB=∠B，

∵HF是⊙O的切線，

∴∠OFH=90°

∴∠HFB+∠OFB=90°，

∴∠B+∠HFB=90°，

∵HF=HG，

∴∠HFG=∠HGF，

又∵∠HGF=∠BGE，

∴∠BGE=∠HFG，

∴∠BGE+∠B=90°，

∴∠GEB=90°，

∴AB⊥CD.

（2）連接AF.

∵AB為⊙O直徑,

∴∠AFB=90°,

∴∠A+∠B=90°,

∴∠A=∠BGE,

又∵∠BGE=∠HGF,

∠A=∠HGF,

∵

∵∠AFB=90°，BF=3 ,

∴ AB=4.

∴OA=OB=2 .

即⊙O的半徑為2.