Question

【題目】已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分線交AC于E，AD⊥BE于D，求證：AD= BE．

Answer 1

【答案】解：如圖延長AD和BC交于F，

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，

∴∠ABC=45°=∠BAC，

∴AC=BC，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE=∠ACF=90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABD=∠EBC，

∵BD⊥AD，

∴∠BCE=∠ADE=90°，

∵∠BEC=∠AED，

∴根據三角形內角和定理得：∠DAE=∠CBE，

在△BCE和△ACF中，

，

∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴BE=AF，

在△ABD和△FBD中，

，

∴△ABD≌△FBD（ASA），

∴AD=DF，

即AF=2AD，

∴AD= AF，

∴AD= BE．

【解析】延長AD，BC相交于F，先判斷△BCE和△ACF全等，再判斷△ABD和△FBD全等，利用全等三角形的性質進行求解，解此題的關鍵是求出BE=AF和AD=DF。