Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OD．

∵OA=OB，CD=BD，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠CED．

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°．

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切線

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，

∴∠BOD=∠BAC=60°，

∠C=∠0DB．

又∵OB=OD，

∴△BOD是等邊三角形．

∴∠C=∠ODB=60°，

CD=BD=5．

∵DE⊥AC，

∴DE=CDsin∠C=5×sin60°= ．

【解析】要證明直線與圓相切，常添加的輔助線是“作垂直，證半徑”或“連半徑證垂直”（1）要證DE為⊙O的切線；因?yàn)辄c(diǎn)D在⊙O上，所以添加的輔助線是“連半徑證垂直”，由此連接OD，抓住已知條件點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)根據(jù)三角形中位線的定義及定理，可證得OD∥AC，由DE⊥AC，可得到OD⊥DE，即可得出結(jié)論；（2）由（1）的證明過程可以知道OD∥AC，又有∠BAC=60°，易證△BOD是等邊三角形，即可得到BD、CD的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角形函數(shù)或勾股定理可以求得DE的長(zhǎng)。