Question

【題目】四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．

(1)求證：AM=AD+MC．

(2)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，試判斷AM=AD+MC是否成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AM=AD+MC仍然成立．

【解析】

（1）從平行線和中點這兩個條件出發(fā)，延長AE、BC交于點N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需再證明AM=NM即可．

（2）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立.

(1)證明：延長AE、BC交于點N，如圖1(1)

∵四邊形ABCD是正方形

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠ENC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．

∴MA=MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE(AAS)

∴AD=NC．

∴MA=MN=NC+MC

=AD+MC．

(2)結(jié)論AM=AD+MC仍然成立．

證明：延長AE、BC交于點P，如圖2(1)，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．

∴MA=MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE(AAS)．

∴AD=PC．

∴MA=MP=PC+MC

=AD+MC．