Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+x+4的對稱軸是直線x＝3，且與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以BC為邊作正方形CBDE，求對角線BE所在直線的解析式；

（3）點P是拋物線上一點，若∠APB＝45°，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+4；（2）y＝﹣3x+24或y＝；（3）點P坐標為（﹣4，﹣6）或（10，﹣6）.

【解析】

（1）利用對稱軸公式列式即求出a的值，進而得拋物線解析式．

（2）由于邊DE所在位置不同，故需對點E所在位置分類討論．過點E作y軸垂線，根據(jù)∠BCE＝90°構造模型，即求得點E坐標，進而求直線BE解析式．

（3）由點P運動過程中∠APB＝45°聯(lián)想到圓周上的圓周角，只要構造出∠APB為圓周角，其所對圓心角等于90°即可．故以AB為斜邊作等腰直角三角形ABG．若G在第一象限，則圓與拋物線無除A、B外的交點，故點G需在第四象限．求出點G坐標，設P坐標，以PG的長等于半徑5為等量關系列方程，即求得p的值進而得點P坐標．

解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x＝3，

∴＝3，解得：a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；

（2）當y＝﹣x2+x+4＝0時，解得：x1＝﹣2，x2＝8，

∴A（﹣2，0），B（8，0），

∴AB＝10，OB＝8，

當x＝0時，y＝﹣x2+x+4＝4，

∴C（0，4），OC＝4，

①如圖1，若點E在第一象限，過點E作EF⊥y軸于點F，

∴∠CFE＝∠BOC＝90°，

∵四邊形CBDE是正方形，

∴∠BCE＝90°，BC＝CE，

∴∠BCO+∠OBC＝∠BCO+∠FCE＝90°，

∴∠OBC＝∠FCE，

在△FCE與△OBC中

，

∴△FCE≌△OBC（AAS），

∴FC＝OB＝8，EF＝OC＝4，

∴OF＝OC+FC＝12，

∴E（4，12），

設直線BE解析式為：y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直線BE解析式為y＝﹣3x+24，

②如圖2，若點E在第三象限，過點E作EF⊥y軸于點F，

同理可證：△FCE≌△OBC（AAS），

∴FC＝OB＝8，EF＝OC＝4，

∴OF＝FC﹣OC＝8﹣4＝4，

∴E（﹣4，﹣4），

設直線BE解析式為：y＝k'x+b'，

∴，解得：，

∴直線BE解析式為y＝x- ，

綜上所述，直線BE解析式為y＝﹣3x+24或y＝x-；

（3）以AB為斜邊作等腰Rt△AGB，則AG＝BG，∠AGB＝90°，

以點G為圓心、AG長為半徑畫圓，則點P在優(yōu)弧AB上時總有∠APB＝45°，

如圖3，若點G在第一象限，⊙G與拋物線交點只有A、B，即沒有滿足條件的點P使∠APB＝45°，

如圖4，若點G在第四象限，過點G作GM⊥x軸于點M，

∴AM＝BM＝GM＝AB＝5，

∴G（3，﹣5），

設P（p，-p2+p+4），

∵PG＝AG＝AB＝5，

∴PG2＝50 可得方程：（p﹣3）2+（-p2+p+4+5）2＝50，

解得：p1＝﹣4，p2＝10，p3＝﹣2（即點A，舍去），p4＝8（即點B，舍去），

∴-p2+p+4＝﹣6，

∴點P坐標為（﹣4，﹣6）或（10，﹣6）.

故答案為：（1）y＝x+4；（2）y＝﹣3x+24或y＝；（3）點P坐標為（﹣4，﹣6）或（10，﹣6）.