Question

12．把一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個新數(shù)，叫做第一次運算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個新數(shù)，叫做第二次運算，…如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”．例如：
32→3²+2²=13→1²+3²=10→1²+0²=1，
70→7²+0²=49→4²+9²=97→9²+7²=130→1²+3²+0²=10→1²+0²=1，
所以32和70都是“快樂數(shù)”．
（1）寫出最小的兩位“快樂數(shù)”；判斷19是不是“快樂數(shù)”；請證明任意一個“快樂數(shù)”經(jīng)過若干次運算后都不可能得到4；
（2）若一個三位“快樂數(shù)”經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，把這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，求出這個“快樂數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義計算即可；
（2）設(shè)三位“快樂數(shù)”為100a+10b+c，根據(jù)“快樂數(shù)”的定義計算．

解答 解：（1）∵1²+0²=1，
∴最小的兩位“快樂數(shù)”10，
∵19→1²+9²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1，
∴19是快樂數(shù)；
證明：∵4→16→37→58→89→145→42→20→4，
4出現(xiàn)兩次，所以后面將重復(fù)出現(xiàn)，永遠(yuǎn)不會出現(xiàn)1，
所以任意一個“快樂數(shù)”經(jīng)過若干次運算后都不可能得到4．
（2）設(shè)三位“快樂數(shù)”為100a+10b+c，由題意，經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，所以第一次運算后結(jié)果一定是10或者100，
則a²+b²+c²=10或100，
∵a、b、c為整數(shù)，且a≠0，
∴當(dāng)a²+b²+c²=10時，1²+3²+0²=10，
①當(dāng)a=1，b=3或0，c=0或3時，三位“快樂數(shù)”為130，103，
②當(dāng)a=2時，無解；
③當(dāng)a=3，b=1或0，c=0或1時，三位“快樂數(shù)”為310，301，
同理當(dāng)a²+b²+c²=100時，6²+8²+0²=100，
所以三位“快樂數(shù)”有680，608，806，860．
綜上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八個，
又因為三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，所以只有310和860滿足已知條件．

點評 本題考查的是因式分解的定義、“快樂數(shù)”的定義，正確理解“快樂數(shù)”的定義、掌握分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．