【題目】已知:如圖,在中,度.上一點,以為圓心、為半徑的圓與交于點,與切于點,.設(shè)是線段上的動點(、不重合),

的長;

為何值時,以、為頂點的三角形是等腰三角形;

在點的運動過程中,的外接圓能否相切?若能,請證明;若不能,請說明理由;

請再提出一個與動點有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,并直接寫出答案.

【答案】(1)BE= 3;(2)當(dāng)x等于2、、 時,△APD是等腰三角形;(3)PD與△PBC的外接圓不能相切,理由見解析;(4)答案不唯一,詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)切線長定理即可解題;(2)根據(jù)不同的頂點分類討論即可解題;(3)利用三邊關(guān)系解題即可;(4)答案不唯一,見詳解.

(1)∵AD與O相切于點D,

∴AD2=AEAB;

由AD=2,AE=1,得AB=4;

∴BE=AB-AE=3;

(2)①以A為頂角頂點時,AP1=AD=2,x=BP1=BA-P1A=2;

以P為頂角頂點時,作AD的垂直平分線P2F交AB于P2;

連接OD,則ODAD,且OD∥P2F;

∴P2A=OA=x=BA-P2A=

以D為頂角頂點時,DP3=DA=2,過D作DMAB于M,則DM∥BC;

由BC2+AB2=(AD+DC)2,得BC=DC=3,AM=,AP3=2AM=

∴x=BA-P3A=2AM=,

綜上所述,當(dāng)x等于2、時,APD是等腰三角形;

(3)PD與PBC的外接圓不能相切;

理由:假設(shè)PD與PBC的外接圓相切,

則PD⊥PC,

Rt△PBC中,PC>BC(直角三角形中,斜邊大于直角邊)

Rt△PCD中,CD>PC(直角三角形中,斜邊大于直角邊)

而BC=CD,與上面的矛盾,所以,不存在.

(4)答案不唯一,如:

x為何值時,以P、D、A為頂點的三角形與ABC相似;

答:當(dāng)x=時,以P、D、A為頂點的三角形與ABC相似.

當(dāng)x為何值時,PD+PC的和最。

答:當(dāng)x=時,PD+PC的和最小.

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A. (0,﹣2) B. (0,﹣ C. (0,﹣ D. (0,﹣

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找出圖中的一對相似三角形,并說明理由;

當(dāng)為等腰三角形時,求的長;

求動點從點出發(fā)沿線段向終點運動的過程中點的運動路線長.

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(2)求(1)中的點C旋轉(zhuǎn)到點C1時,點C經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留π).

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