Question

【題目】如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn) A ( 3 , 3) ，把直線 OA 向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B(6,m)，與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn).

(1）求 m的值；

( 2 ）求過(guò) A、B、D 三點(diǎn)的拋物線的解析式；

( 3 ）若點(diǎn)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn) E，使四邊形 OECD 的面積S1，是四邊形OACD 面積S的?若存在，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）拋物線的解析式為；（3），

【解析】

（1）由于反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），由此可以確定函數(shù)的解析式，又把直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可確定m的值；

（2）由于直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，由此首先確定直線BD的解析式，接著可以確定C，D的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可確定過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）如圖，利用（1）（2）知道四邊形OACD是梯形，利用已知條件可以求出其面積，設(shè)E的橫坐標(biāo)為x，那么利用x可以表示其縱坐標(biāo)，也可以表示△OEC的面積，而△OCD的面積可以求出，所以根據(jù)四邊形OECD的面積S1，是四邊形OACD面積S的即可列出關(guān)于x的方程，利用方程即可解決問(wèn)題．

（1）∵反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為：y=，

而直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m），

∴m=；

（2）∵直線OA向下平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，），

與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，

而這些OA的解析式為y=x，

設(shè)直線CD的解析式為y=x+b，

代入B的坐標(biāo)得：=6+b，

∴b=-4.5，

∴直線OC的解析式為y=x-4.5，

∴C、D的坐標(biāo)分別為（4.5，0），（0，-4.5），

設(shè)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

分別把A、B、D的坐標(biāo)代入其中得：

，

解之得：a=-0.5，b=4，c=-4.5

∴y=-x2+4x-；

（3）如圖，設(shè)E的橫坐標(biāo)為x，

∴其縱坐標(biāo)為-0.5x2+4x-4.5，

∴S1=（-0.5x2+4x-4.5+OD）×OC，

=（-0.5x2+4x-4.5+4.5）×4.5，

=（-0.5x2+4x）×4.5，

而S=（3+OD）×OC=（3+4.5）×4.5=，

∴（-0.5x2+4x）×4.5=×，

解之得x=4±，

∴這樣的E點(diǎn)存在，坐標(biāo)為（4-，），（4+，）．