Question

【題目】如圖1，點(diǎn)C、D是線(xiàn)段AB同側(cè)兩點(diǎn)，且AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，連接BC，AD交于點(diǎn) E．

（1）求證：AE＝BE；

（2）如圖2，△ABF與△ABD關(guān)于直線(xiàn)AB對(duì)稱(chēng)，連接EF．

①判斷四邊形ACBF的形狀，并說(shuō)明理由；

②若∠DAB＝30°，AE＝5，DE＝3，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）①四邊形ACBF為平行四邊形，理由見(jiàn)解析；②EF=7.

【解析】

（1）利用SAS證△ABC≌△BAD可得．

（2）①根據(jù)題意知：AC=BD=BF，并由內(nèi)錯(cuò)角相等可得AC∥BF，所以由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得結(jié)論；

②如圖2，作輔助線(xiàn)，證明△ADF是等邊三角形，得AD=AE+DE=3+5=8，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一得AM=DM=4，最后利用勾股定理可得FM和EF的長(zhǎng)．

（1）證明：在△ABC和△BAD中，

∵，

∴△ABC≌△BAD（SAS），

∴∠CBA=∠DAB，

∴AE=BE；

（2）解：①四邊形ACBF為平行四邊形；

理由是：由對(duì)稱(chēng)得：△DAB≌△FAB，

∴∠ABD=∠ABF=∠CAB，BD=BF，

∴AC∥BF，

∵AC=BD=BF，

∴四邊形ACBF為平行四邊形；

②如圖2，過(guò)F作FM⊥AD于，連接DF，

∵△DAB≌△FAB，

∴∠FAB=∠DAB=30°，AD=AF，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AD=AE+DE=3+5=8，

∵FM⊥AD，

∴AM=DM=4，

∵DE=3，

∴ME=1，

Rt△AFM中，由勾股定理得：FM===4，

∴EF==7．