Question

【題目】在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=120°，∠ADE=90°，∠DAE=60°，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，連接BE、DF，G、H分別為BE，DF的中點(diǎn)，連接GH．

（1）如圖1，若D在△ABC的邊AB上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段GH與HF的位置關(guān)系　 　，=　 　．

（2）如圖2，將圖1中的△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否改變？請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，將圖1中的△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3所示位置，若C、D、E三點(diǎn)共線，且AE=2，AC=，請(qǐng)直接寫出線段BE的長　 　．

Answer 1

【答案】（1）GH⊥HF，；（2）結(jié)論不變；（3）.

【解析】

（1）如圖1中，連接DG，F(xiàn)G．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可得GD=GF，再證明△DGF是等邊三角形即可解決問題；
（2）結(jié)論不變．如圖2中，延長ED至S，使DS=DE，連接AS，BS，CE，F(xiàn)G，DG．理由三角形的中位線定理，證明GD=GF，△GDF是等邊三角形即可解決問題；
（3）如圖3中，延長ED到H，使得DH=DE，連接AH，BH，作BM⊥EC于M，設(shè)BC交AH于點(diǎn)O．想辦法證明∠BHE=60°，解直角三角形求出BM，ME即可解決問題；

解：（1）如圖1中，連接DG，F(xiàn)G．

∵AB=AC，BF=CF，

∴AF⊥ BC，∴ ∠ BAF= ∠ CAF=60°，

∵ ED⊥ AB，

∴ ∠ BFE=∠ BDE=90°，

∵BG=GE，

∴DG=BE，GF=BE，

∴DG=FG，∵DH=HF，

∴GH⊥ DF，

∵ ∠ BAE=60°，

∴ ∠ ABE+∠ AEB=120°，

∵ DG=BG=GF=GE，

∴ ∠ GBD=∠ GDB，∠ GEF=∠GFE，

∴ ∠ BGD+∠ EGF=120°，

∴ ∠ DGF=60°，

∴ △ DGF是等邊三角形，

∴=tan60°= ．

故答案為GH⊥ HF， =．

（2）結(jié)論不變．

理由：如圖2中，延長ED至S，使DS=DE，連接AS，BS，CE，F(xiàn)G，DG．

∵ ∠ ADE=90°

∴ AS=AE，∠DAE=∠DAS=60°

∴ ∠ BAC=∠SAE=120°

∴ ∠ SAB= ∠ EAC

∵AB=AC

∴ △ ABS ≌ △ ACE

∴ BS=CE，∠ ABS=∠ACE

∵F，G分別為BC，BE中點(diǎn)

∴FG∥CE，F(xiàn)G=CE，

同理：DG∥BS，DG=BS，

∴DG=FG，

∵H為DF中點(diǎn)，

∴ GH⊥ HF，

延長SB交CE延長線于T，

∵ ∠ ABS+∠ABT=∠ ACE+∠ ABT=180°，

∴ ∠ BAC+∠ T=120°，

∴ ∠ T=60°，

延長FG交BT于P，

∴ ∠ T=∠ BPF=∠ DGF=60°，

∴ ∠HGF=30°，

∴ =．

（3）如圖3中，延長ED到H，使得DH=DE，連接AH，BH，作BM⊥EC于M，設(shè)BC交AH于點(diǎn)O．

∵AD⊥EH，ED=DH，

∴AE=AH，

∴∠AEH=∠AHE=30°，

∴∠EAH=∠BAC=120°，

∴∠BAH=∠CAE，

∵AB=AC，AH=AE，

∴△BAH ≌ △ CAE（SAS），

∴ ∠ BHA=∠ AEC=30°，BH=CE，

∴∠ OBA=∠OHC=30°，

∵∠AOB=∠COH，

∴△AOB ∽ △COH，

∴ = ，

∴ =，∵∠ AOC=∠ BOH，

∴ △ AOC∽ △ BOH，

∴∠BHO=∠AOC=30°，

∴∠BHE=30°+30°=60°，

在Rt△ADE中，∵AE=2，∠ AED=30°，

∴AD=1，ED=DH=，

在Rt△ADC中，CD== ，

∴BH=EC=2 ，

在Rt△BMH中，HM=（2+），BM=HM=（2+3），

∴EM=EH﹣HM=2﹣（2+ ）= ﹣1，

在Rt△EBM中，BE= = =．

故答案為 ．