Question

等腰直角△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，點D為斜邊AB中點，以點D為頂點作∠EDF=90°，角的兩邊分別與兩直角邊交于點E，F(xiàn)，連接EF．
探究：（1）如圖（1）當(dāng)DE⊥AC時，猜想線段AE、BF、EF長度之間的關(guān)系，并加以證明．
（2）如圖（2）當(dāng)DE不與AC垂直時（1）的結(jié)論是否存在，并加以證明；
（3）若∠EDF的兩邊分別與AC延長線、CB延長線交于點E，F(xiàn)連接EF，利用備用圖畫出圖形，直接寫出線段AE、BF、EF長度之間的關(guān)系（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）AE²+BF²=EF²，理由為：連接CD，如圖1所示，由三角形ABC為等腰直角三角形，得到AD=CD，且∠A=∠DCF=45°，再由∠EDF=90°，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得出三角形ADE與三角形CDF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=CF，再由AC=BC，得到CE=BF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列車關(guān)系式，等量代換即可得證；
（2）如圖（2）當(dāng)DE不與AC垂直時（1）的結(jié)論存在，利用為：連接CD，如圖2所示，由三角形ABC為等腰直角三角形，得到AD=CD，且∠A=∠DCF=45°，再由∠EDF=90°，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得出三角形ADE與三角形CDF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=CF，再由AC=BC，得到CE=BF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列車關(guān)系式，等量代換即可得證；
（3）三線段之間的關(guān)系是AE²+BF²=EF²，理由為：連接接CD，如圖所示，由三角形ABC為等腰直角三角形，得到AD=CD=BD，且∠ACD=∠ABC=45°，得到一對鄰補角相等，再由∠EDF=90°，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得出三角形CDE與三角形BDF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到CE=BF，得到CE=BF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列車關(guān)系式，等量代換即可得證．

解答：解：（1）AE²+BF²=EF²，理由為：
連接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB，∠A=∠DCF=45°，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠A=∠DCF=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，又AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：CE²+CF²=EF²，
則AE²+BF²=EF²；
（2）如圖（2）當(dāng)DE不與AC垂直時（1）的結(jié)論成立，理由為：
連接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB，∠A=∠DCF=45°，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠A=∠DCF=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，又AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：CE²+CF²=EF²，
則AE²+BF²=EF²；
（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：
連接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB，∠ACD=∠ABC=45°，
∴∠ECD=∠FBD=135°，
∵∠CDE+∠EDB=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，

∠ECD=∠FBD CD=BD ∠CDE=∠BDF

，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，又AC=BC，
∴CF=BC+BF=AC+CE=AE，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：CE²+CF²=EF²，
則AE²+BF²=EF²．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用了等量代換的思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．