Question

在長方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，現將長方形ABCD向右平移xcm，再向下平移（x+1）cm后到長方形A′B′C′D′的位置，
（1）如圖，用x的代數式表示長方形ABCD與長方形A′B′C′D′的重疊部分的面積，這時x應滿足怎樣的條件？
（2）如圖，用x的代數式表示六邊形ABB′C′D′D（陰影部分）的面積；
（3）當這兩個長方形沒有重疊部分時，第（2）小題的結論是否改變，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=8cm，BC=10cm，
∴重疊部分的長為（10-x），寬為[8-（x+1）]，
∴重疊部分的面積=（10-x）[8-（x+1）]=（10-x）（7-x）=70-10x-7x+x²，
=x²-17x+70（cm²），
∵8-（x+1）＞0，
解得x＜7，
∴x應滿足的條件是：0≤x＜7；

（2）方法一：S=10×8×2+x（x+1）×2-（x²-17x+70），
=160+x²+x-x²+17x-70，
=18x+90（cm²）（0≤x＜7）；
方法二：S=（10+x）（8+x+1）-x（x+1）×2，
=（10+x）（9+x）-x²-x，
=90+19x+x²-x²-x，
=18x+90（cm²）（0≤x＜7）．

（3）當這兩個長方形沒有重疊部分時，第（2）小題的結論不改變．
延長AD、C′D′交于點M，延長AB、C′B′交于點N，
S_{ABB′C′D′D}=S_ANC′M-2S_BNB′=（10+x）（9+x）-2×x（x+1）=（18x+90）（cm²）．
故當這兩個長方形沒有重疊部分時，第（2）小題的結論不改變．
[如果第（2）題用此方法解，只須說明解題方法相同；如果用面積圖形分割方法解，需分兩種情況說明．]
分析：（1）表示出重疊部分的長與寬，然后根據長方形的面積公式列式整理即可，根據重疊部分的寬為正數求x的取值范圍；
（2）方法一：利用平移前后的長方形的面積的和加上兩個正方形的面積，然后再減去重疊部分的面積列式進行計算即可得解；
方法二：利用六邊形所在的長方形的面積減去兩個小直角三角形的面積，根據面積公式列式進行計算即可得解．
（3）當這兩個長方形沒有重疊部分時，第（2）小題的結論不改變，延長AD、C′D′交于點M，延長AB、C′B′交于點N，
利用S_{ABB′C′D′D}=S_ANC′M-2S_BNB′求出即可．
點評：本題考查了平移的性質，整式的混合運算，認準圖形，準確列出所求部分的面積是解題的關鍵．