Question

4．已知某大型超市今年在銷售某種水果時，1～6月份的銷售單價y₁（元/千克）與時間x（月）的關系如表：

x	1	2	3	4	5	6
y1	60	30	20	15	12	10

7～10月份的銷售單價y₂（元/千克）與時間x（月）滿足函數關系：y₂=x²+bx+c，其圖象如圖．今年1～6月份的月銷量z₁（萬千克）與時間x（月）滿足關系式：z₁=-x²+6x；而7～10月份的月銷量一直穩(wěn)定在8萬千克．
（1）請觀察題目中的表格及圖象，直接寫出y₁（元/千克）與時間x（月）的函數關系式及y₂（元/千克）與時間x（月）的函數關系式．
（2）求出該種水果今年1～10月哪個月的銷售額最大？最大銷售額為多少萬元？
（3）進入11月后，商場決定將銷售單價在取得最大月銷售額時的單價的基礎上提高2a%，預測月銷售量將在取得最大月銷售額時的銷售量的基礎上下降0.5a%，若要使該種水果11月份的銷售額達到360萬元，求出a的最小整數值（a＜100）？（參考數據：$\sqrt{6}$≈2.45；$\sqrt{7}$≈2.65；$\sqrt{8}$≈2.83）

Answer 1

分析 （1）根據圖表中x、y的乘積是定值60可知此函數是反比例函數，然后寫出即可；
（2）根據銷售額=單價×銷售量求出上半年的銷售額，然后根據一次函數的增減性求出上半年最大銷售額的月份及最大銷售額，根據二次函數的增減性求出下半年的最大銷售額與月份，兩者比較即可得解；
（3）先求出去年銷售額時的最大時的單價，然后根據銷售額=單價×銷售額表示出銷售額總和，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵1×60=60，2×30=60，3×20=60，4×15=60，5×12=60，6×10=60，
∴y₁與x成反比例函數關系，
故關系式為y₁=$\frac{60}{x}$，
由圖可知，拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2}$=4，
解得b=-8，
x=0時，y=c=20，
所以，y₂=x²-8x+20；

（2）設銷售額為W，則上半年：W₁=y₁•Z₁=$\frac{60}{x}$•（-x²+6x）=-60x+360，
∵1≤x≤6，
∴當x=1時，即1月份的銷售額取得最大值，最大值為-60+360=300萬元，
下半年：W₂=y₂•10=10（x²-8x+20）=10（x-4）²+40，
根據二次函數的性質，x＞4時，y隨x的增大而增大，
∵7≤x≤10，
∴當x=10時，即10月份銷售額取得最大值，最大值為=（10-4）²+40=400萬元，
∵300＜400，
∴去年10月的銷售額最大，最大銷售額是400萬元；

（3）去年7月份銷售單價為y₂=-7²+4×7+41=-49+28+41=20元，
根據題意得，20（1+3a%）×8（1-0.5a%）+（20×3.2）×10（1-0.5a%）=860，去年10月份銷售單價為y₂=10²-8×10+20=40元，
根據題意得，40（1+2a%）×8（1-0.5a%）=360，
整理得，8（a%）²-12a%+1=0，
所以，a%=$\frac{12±\sqrt{112}}{16}$=$\frac{12±10.6}{16}$，
∴a%=1.42或a%=0.09，
∴a=14或a=9，
最大整數值約為14．

點評 此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求函數的判定與求解，一次函數的增減性，二次函數的增減性，一元二次方程的解法等知識，運用二次函數解決實際問題是中考中熱點題型，同學們應重點掌握．