Question

【題目】如圖，直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，與直線AB交于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)矩形PQNM的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△ACM的面積；
②在①的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，過直線AC上一點(diǎn)G作y軸的平行線交拋物線一點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)P、C、G、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴A（﹣3，0），B（0，3）．
∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，﹣m2﹣2m+3），PM=﹣m2﹣2m+3．
∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱軸為x=﹣=﹣=﹣1，
∴PQ=2（﹣1﹣m）=﹣2m﹣2．
∴矩形PQMN的周長(zhǎng)=2（PM+PQ）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，
當(dāng)m=﹣2時(shí)，矩形PQMN的周長(zhǎng)最大，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，1），CM=AM=1，
∴S△ACM=×1×1=；
②∵C（﹣2，1），
∴P（﹣2，3），
∴PC=3﹣1=2．
∵點(diǎn)P、C、G、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，GF∥y軸，
∴GF∥PC，且GF=PC．
設(shè)G（x，x+3），則F（x，﹣x2﹣2x+3），
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方時(shí)，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=2，解得x=﹣1或x=﹣2（舍去），
當(dāng)x=﹣1時(shí)，﹣x2﹣2x+3=4，即F1（﹣1，4）；
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)G的下方時(shí)，x+3﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x=或x=，
當(dāng)x=時(shí)，﹣x2﹣2x+3=；
當(dāng)x=時(shí)，﹣x2﹣2x+3=，
故F2（，），F(xiàn)3（，）．
綜上所示，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1（﹣1，4），F(xiàn)2（，），F(xiàn)3（，）．
【解析】（1）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線y=﹣x2+bx+c求出b、c的值即可；
（2）①先用m表示出PM的長(zhǎng)，再求出拋物線的對(duì)稱軸及PQ的長(zhǎng)，利用矩形的面積公式可得出其周長(zhǎng)的解析式，進(jìn)而可得出矩形面積的最大值，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
②根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)得出P點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出PC的長(zhǎng)，再分點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方與點(diǎn)F在點(diǎn)G的下方兩種情況進(jìn)行討論即可．