Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-2，-4），OB=2，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、O、B三點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點M是拋物線對稱軸上一點，試求AM+OM的最小值；
（3）在此拋物線上，是否存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A、B、O的坐標代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）根據對稱軸求出O、B關于對稱軸對稱，根據勾股定理求出AB即可；
（3）①若OB∥AP，根據點A與點P關于直線x=1對稱，由A（-2，-4），得出P的坐標；②若OA∥BP，設直線OA的表達式為y=kx，設直線BP的表達式為y=2x+m，由B（2，0）求出直線BP的表達式為y=2x-4，得到方程組，求出方程組的解即可；③若AB∥OP，設直線AB的表達式為y=kx+m，求出直線AB，得到方程組求出方程組的解即可；
解答：解：（1）由OB=2，可知B（2，0），
將A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三點坐標代入拋物線y=ax²+bx+c，
得
解得：
∴拋物線的函數表達式為．
答：拋物線的函數表達式為．

（2）由，
可得，拋物線的對稱軸為直線x=1，
且對稱軸x=1是線段OB的垂直平分線，
連接AB交直線x=1于點M，M點即為所求．
∴MO=MB，則MO+MA=MA+MB=AB
作AC⊥x軸，垂足為C，則AC=4，BC=4，∴AB=
∴MO+MA的最小值為．
答：MO+MA的最小值為．

（3）①若OB∥AP，此時點A與點P關于直線x=1對稱，
由A（-2，-4），得P（4，-4），則得梯形OAPB．
②若OA∥BP，
設直線OA的表達式為y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．
設直線BP的表達式為y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4，
∴直線BP的表達式為y=2x-4
由，解得x₁=-4，x₂=2（不合題意，舍去）
當x=-4時，y=-12，∴點P（-4，-12），則得梯形OAPB．
③若AB∥OP，
設直線AB的表達式為y=kx+m，則，
解得，∴AB的表達式為y=x-2．
∵AB∥OP，
∴直線OP的表達式為y=x．
由，得 x²=0，解得x=0，
（不合題意，舍去），此時點P不存在．
綜上所述，存在兩點P（4，-4）或P（-4，-12）
使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形．
答：在此拋物線上，存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形，點P的坐標是（4，-4）或（-4，-12）．
點評：本題主要考查對梯形，解二元二次方程組，解一元二次方程，二次函數的性質，用待定系數法求一次函數的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵．