Question

若m為整數，在使m²+m+4為完全平方數的所有m的值中，設其最大值為a，最小值為b，次小值為c．
（1）求a、b、c的值；
（2）對a、b、c進行如下操作：任取兩個求其和再除以，同時求其差再除以，加上剩下的一個數，這樣就仍得到三個數．再對所得三個數進行如上操作，問能否經過若干次上述操作，得到2004，2005，2006？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）設m²+m+4=k²（k為非負整數），則有m²+m+4-k²=0，由m為整數知其△為完全平方數，即1-4（4-k²）=p²（p為非負整數），（2k+p）（2k-p）=15，顯然2k+p＞2k-p，再分別求出a、b、c的值即可．
（2）根據題意所述進行計算可得出規(guī)律，繼而可判斷出答案．
解答：解：（1）設m²+m+4=k²（k為非負整數），則有m²+m+4-k²=0，
由m為整數知其△為完全平方數，即1-4（4-k²）=p²（p為非負整數），
（2k+p）（2k-p）=15，顯然：2k+p＞2k-p，
所以或，
解得p=7或p=1，
所以m=，
得：m₁=3，m₂=-4，m₃=0，m₄=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．
（2）因為，
即操作前后，這三個數的平方和不變，
而3²+（-4）²+（-1）²≠2004²+2005²+2006²．
所以，對a、b、c進行若干次操作后，不能得到2004，2005，2006這三個數．
點評：本題考查了對完全平方數的理解，拓展應用是解此題的關鍵，要打破思維常規(guī)進行分析．