Question

閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A．B兩點的坐標分別為A（，B，AB中點P的坐標為．由，得，同理，所以AB的中點坐標為（，）．由勾股定理得，所以A、B兩點間的距離公式為AB=．

注：上述公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立．解答下列問題：

如圖2，直線l：與拋物線交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．

  

（1）求A、B兩點的坐標及P、C兩點的坐標；

（2）連結(jié)AB、AC，求證：△ABC為直角三角形；

（3）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．

Answer 1

（1）A（，），B（，），P（，3），C（，）；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】（1）由，解得：，，則A，B兩點的坐標分別為：A（，），B（，），∵P是A，B的中點，由中點坐標公式得P點坐標為（，），即（，3），又∵PC⊥x軸交拋物線于C點，將代入中得，∴C點坐標為（，）；

（2）由兩點間距離公式得：AB==5，PC=，∴PC=PA=PB，∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC為直角三角形；

（3）過點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，則H點的坐標為（，），∴S_△PAC=AP•CG=PC•AH，∴CG=AH=．又∵直線l與l′之間的距離等于點C到l的距離CG，∴直線l與l′之間的距離為．