Question

【題目】如圖，已知射線OC為∠AOB的平分線，且OA＝OB，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn)，連接AP、BP．

（1）求證：△AOP≌△BOP；

（2）若∠AOB＝50°，且點(diǎn)P是△AOB的外心，求∠APB的度數(shù)；

（3）若∠AOB＝50°，且△OAP為鈍角三角形，直接寫(xiě)出∠OAP的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠APB＝100°；（3）0°＜∠OAP＜ 65°或90°<∠OAP<155°．

【解析】

（1）根據(jù)“SAS”證明即可；

（2）根據(jù)三角形外心定義得到PA＝PB＝PO，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求出∠APC＝50°，根據(jù)∠APO＝∠BPO即可求解；

（3）根據(jù)題意得，分為鈍角和為鈍角兩種情況討論即可．

解：（1）∵OP平分∠AOB，

∴∠AOP＝∠BOP，

又∵OA＝OB，OP＝OP，

∴△AOP≌△BOP；

（2）∵∠AOB＝50°，

∴∠AOP＝∠BOP＝25°，

∵點(diǎn)P是△AOB的外心，

∴PA＝PB＝PO，

∴∠A＝∠AOP＝25°，

∴∠APC＝∠A＋∠AOP＝50°，

∵△AOP≌△BOP，

∴∠APO＝∠BPO，

∴∠BPC＝∠APC＝50°，

∴∠APB＝100°；

（3）∵∠AOB＝50°，

∴ ，

∴，

∴，

如圖1，當(dāng)為鈍角時(shí)，

90°<∠OAP<155° ；

如圖2，當(dāng)為鈍角時(shí)，

90°<∠OPA<155°，

即90°<<155°，

∴0°＜∠OAP＜ 65°

∴∠OAP的取值范圍為：90°<∠OAP<155°或0°＜∠OAP＜ 65°．