Question

（2011•石家莊二模）（1）在△ABE中，AC⊥BE，垂足為C，點D在AC上，連接BD、ED．
如果△ABC∽△EDC，
如圖1，當

BC

AC

=1時，求證：BD=AE；
如圖2，當

BC

AC

=k時，請猜想BD與AE的數(shù)量關系和位置關系，并證明．
（2）如圖3，如果△ABC∽△EDC，當

BC

AC

=k時，請直接寫出BD與AE的數(shù)量關系．

Answer 1

分析：（1）當

BC

AC

=1時，根據(jù)相似三角形的性質得

AC

EC

=

BC

CD

，易得BC=AC，CD=CE，根據(jù)全等三角形的判定可得到Rt△BCD≌Rt△ACE，即可得到結論；
當

BC

AC

=k時，延長BD交AE于點F，根據(jù)相似三角形的性質得

AC

EC

=

BC

CD

，則

BC

AC

=

CD

EC

，根據(jù)相似三角形的判定可得到Rt△BCD∽Rt△ACE，則

BD

AE

=

BC

AC

，∠BDC=∠AEC，得到BD=kAE，而∠BCD=90°，即可得到∠CBD+∠AEC=90°，即BD⊥AE；
（2）由（1）的第二種情況可推出BD=kAE．

解答：解：（1）當

BC

AC

=1時，
證明：∵△ABC∽△EDC，
∴

AC

EC

=

BC

CD

，
∴

BC

AC

=

CD

EC

，
又∵

BC

AC

=1，
∴BC=AC，CD=CE，
又∵AC⊥BE，
∴∠ACB=∠ECD=90°，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE；
當

BC

AC

=k時，有BD=kAE，BD⊥AE．
證明如下：如圖，延長BD交AE于點F，
∵△ABC∽△EDC，
∴

AC

EC

=

BC

CD

，
∴

BC

AC

=

CD

EC

，
又∵AC⊥BE，
∴∠ACB=∠ECD=90°，
∴Rt△BCD∽Rt△ACE，
∴

BD

AE

=

BC

AC

，∠BDC=∠AEC，
∵

BC

AC

=k，
∴BD=kAE，
∴BD=kAE；
∵∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD+∠AEC=90°，
∴BD⊥AE；

（2）BD=kAE．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組對應邊的比相等，并且它們的夾角相等的兩三角形相似；相似三角形的對應邊比相等．也考查了全等三角形的判定與性質．