Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過、兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一交點(diǎn)．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①求出四邊形的周長與的函數(shù)表達(dá)式，并求的最大值；

②當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形；

③是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的最大值為；②當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．③點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，設(shè)二次函數(shù)的解析式：，根據(jù)題意求出 ， 并代入求出a即可．

（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求出．再根據(jù)平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例得到，用t表示CE，得 ．再根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可以得到，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得答案;

②要使四邊形是菱形，必有，即，解出t值即可;

③分兩種情況討論：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，求出對(duì)應(yīng)P坐標(biāo)即可;（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，求出對(duì)應(yīng)P坐標(biāo)即可．

（1）直線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、．

∵拋物線與軸的另一交點(diǎn)．

∴設(shè)所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

把點(diǎn)代入，得，解得．

∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

即．

（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，，

∴四邊形是平行四邊形.

∴．

∵，

∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．

②要使四邊形是菱形，必有，

∴，整理得，解得，（舍去）．

∴當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．

③分兩種情況討論：

（Ⅰ）如下圖，當(dāng)時(shí)，，

∵，

∴軸．

∴，即.解得，（舍去） ．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（Ⅱ）如下圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，

∵

∴

又∵

∴

∵

∴，

∴，即，解得，（舍去）．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．