Question

6．已知二次函數(shù)y=x²-4x+3，設該拋物線與y軸交于點C，拋物線頂點為D，點P是x軸上的點，且滿足PC+PD最短．
（1）分別求C、D、P的坐標．
（2）設點E時拋物線上的 點，且△PDE是以PD為底邊的等腰三角形，請在備用圖中畫出你找到的點E示意圖．并用文字簡要說明點E的具體位置．（不必求出點E坐標）
（3）設點Q時拋物線上的點，當△PQC是以線段CP為直角邊的Rt△時，求出Q點的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得C點坐標，根據(jù)配方法，可得D點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得P點坐標；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線短兩端點的距離相等，可得E點的位置；
（3）根據(jù)勾股定理，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1，
連接CD交x軸于P點，
當x=0時，y=3，即C點坐標為（0，3），
配方，得y=（x-2）²-1，即D點坐標為（2，-1），
設CD的解析式為y=kx+b，將C、D點坐標代入，的
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
CD的解析此時為y=-2x+3，
當y=0時，x=$\frac{3}{2}$，即P（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）如圖2，
作PD的垂直平分線交拋物線E₁，E₂，△PDE₁，△PDE₂是以PD為底邊的等腰三角形；
（3）如圖3，
Q在拋物線上，設Q點坐標為（m，m²-4m+3）．
由勾股定理，得
CP²=（$\frac{3}{2}$）²+3²=$\frac{45}{4}$，PQ²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（m²-4m+3）²，CQ²=m²+（m²-4m+3-3）²．
由∠CPQ=90°，得
CP²+PQ²=CQ²，即$\frac{45}{4}$+（m-$\frac{3}{2}$）²+（m²-4m+3）²=m²+（m²-4m+3-3）²．
化簡，得
8m²-36m+30=0．
解得m₁=$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，m₂=$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，
當m₁=$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$時，m²-4m+3=$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$，即Q₁（$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$）；
當=$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$時，m²-4m+3=$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$，即Q₂（$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$）；
綜上所述：當△PQC是以線段CP為直角邊的Rt△時，Q點的坐標（$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$）；（$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對應關系求點的坐標；利用線段垂直平分的性質得出PD垂直平分線與拋物線的交點是解題關鍵；利用勾股定理得出關于關于m的方程是解題關鍵．