Question

如圖，直線AB經(jīng)過圓心O，△BCT內(nèi)接于⊙O，B是的中點(diǎn)，連接AT，且TB平分銳角∠CTA，cos∠CTA=．
（1）求證：AT是⊙O的切線；
（2）若CT交OA于K，BC=2，請(qǐng)你猜測AT的長度，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OT，由BT是∠ATC的角平分線，cos∠CTA=，可求∠ATB=∠BTC=30°，而B是弧CT的中點(diǎn)，那么∠C=30°，利用圓周角定理可求∠BOT=60°，而OB=OT，則△BOT是等邊三角形，則∠OTB=60°，那么可求∠ATO=90°，即AT是⊙O的切線；
（2）由于OT⊥AT，∠BOT=60°，則∠A=30°，那么在△ATB和△CTB中，∠A=∠C，∠ATB=∠CTB，BT=BT，利用AAS可證△ATB≌△CTB，從而有AT=CT，在Rt△BCK中，由于BC=2，∠C=30°，易求CK=cos30°×BC=，即CT=2，那么AT=2．
解答：證明：（1）∵TB平分銳角∠CTA，且cos∠CTA=，
∴∠CTB=∠BTA=30°，
又∵B是的中點(diǎn)，
∴∠C=∠CTB=30°，
連接OT，
則∠TOB==2∠C=60°，又OT=OB，
∴△BOT是等邊三角形，
∴∠OTB=60°，
∴∠OTA=∠OTB+∠BTA=90°，
即：OT⊥AT，
∴AT是⊙O的切線；

（2）猜想：AT=2，
理由：∵OT⊥AT，∠TOB=60°，
∴∠A=30°=∠C，
又∵∠CTB=∠BTA且TB=TB，
∴△CBT≌△ABT，
∴AT=CT，
在Rt△BCK中，CK=cos30°×CB=，
∴CT=2，
∴AT的長度為2．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了角平分線定義、三角函數(shù)值、等邊三角形的判定和性質(zhì)、同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理．