Question

【題目】閱讀：已知△ABC，用直尺與圓規(guī)，在直線BC上方的平面內(nèi)作一點(diǎn)M（不與點(diǎn)A重合），使∠BMC＝∠BAC（如圖1）．

小明利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”這條性質(zhì)解決了這個(gè)問(wèn)題，下面是他的作圖過(guò)程：

第一步：分別作AB、BC的中垂線（虛線部分），設(shè)交點(diǎn)為O；

第二步：以O為圓心，OA為半徑畫(huà)圓（即△ABC的外接圓）

第三步：在弦BC上方的弧上（異于A點(diǎn)）取一點(diǎn)M，連結(jié)MB、MC，則∠BMC＝∠BAC．（如圖2）

思考：如圖2，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝10，E是CD上一點(diǎn)，DE＝2．

（1）請(qǐng)利用小明上面操作所獲得的經(jīng)驗(yàn)，在矩形ABCD內(nèi)部用直尺與圓規(guī)作出一點(diǎn)P．點(diǎn)P滿足：∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺與圓規(guī)作出點(diǎn)P，保留作圖痕跡．）

（2）求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）作BC的垂直平分線，交BE于點(diǎn)O，以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．
（2）先根據(jù)AD=6，CD=10，DE=2知CE=8，BE=10，從而得OB=OP=5，再由BQ=CQ=BC=3得OQ=4，再根據(jù)勾股定理求解可得．

解：（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求：

（2）∵CD＝10，DE＝2，

∴CE＝8，

∵BC＝AD＝6，

∴BE＝10，

則OP＝OB＝5，

∵BQ＝CQ＝BC＝3，

∴OQ＝4，

則PQ＝9，

∴PC＝＝＝3．