Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是x=﹣1．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)M在x軸正方向上，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C，OP=3OM．

①當(dāng)四邊形OMCP為矩形時(shí)，求OM的長(zhǎng)；

②過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，求點(diǎn)P在直線CD的下方時(shí)，求CD的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=－（x+1）2+4或；

（2）①當(dāng)OM=時(shí)，四邊形OMCP為矩形；

②點(diǎn)P在直線CD的下方時(shí)，CD的取值范圍是2＜CD＜．

【解析】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+k，

∵點(diǎn)A（1，0），B（0，3）在拋物線上，

∴，

解得：a=﹣1，k=4，

∴拋物線的解析式為：y=－（x+1）2+4或．

（2）①∵當(dāng)四邊形OMCP為矩形時(shí)，設(shè)OM= t，則OP=3 t，

則有OP=MC，即3t=－（t+1）2+4，

整理得：t2+5t﹣3=0，

解得t=，由于t=＜0，故舍去，

∴當(dāng)OM=時(shí)，四邊形OMCP為矩形；

②∵設(shè)OM= t時(shí)，函數(shù)y=－（t+1）2+4的對(duì)稱軸為，

∴點(diǎn)C到直線的距離為t+1．

∴CD=2 t+2．

∵當(dāng)OM=時(shí)，四邊形OMCP為矩形，

此時(shí)OP=，點(diǎn)P在CD上，

∴點(diǎn)P在直線CD的下方時(shí)，t =OM＜．

∵CD=2 t+2，

∴CD＜

又∵點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí), CD=2，點(diǎn)M在x軸正方向上，

∴求點(diǎn)P在直線CD的下方時(shí)，CD的取值范圍是2＜CD＜．