Question

【題目】如圖①，是外一點，過點做的兩條切線，切點分別為．若，則點叫做的切角點．

（1）如圖②，的半徑是1，點O到直線的距離為2．若點是的切角點，且點在直線上，請用尺規(guī)作出點；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖③，在中，，，，是的內切圓．若點是的切角點，且點在的邊上，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的長為或2

【解析】

（1）作圖見詳解,（2）根據(jù)特殊直角三角形性質求出三角形的三邊長和內角度數(shù),分類討論找到P點位置,根據(jù)特殊的角度即可解題.

解：（1）如圖，點即為所求．

（2）在中，，，，

，．

是的內切圓，

設、、分別與相切于點，

∴OD⊥AC，ON⊥BC，OM⊥AB，BM＝BN，CN＝CD，AM＝AD．

，四邊形為矩形．

，矩形為正方形．

設的半徑為，則，

，．

．

即．

解得．

，．

如圖①，，且、與分別相切于點、，

點是的切角點，即點與點重合，此時．

如圖②，若的切角點在線段上，與相切于點．

由切角點的概念知．

連接，有．

是的半徑，．

，．

．

，．

．

如圖③，若的切角點在線段上．

與上一種情況類似計算可得．

則．

綜上，的長為或2．