Question

如圖所示，等邊三角形ABC的邊長是6，點P在邊AB上，點Q在BC的延長線上，且AP=CQ，設PQ與AC相交于點D．
（1）當∠DQC=30°時，求AP的長．
（2）作PE⊥AC于E，求證：DE=AE+CD．

Answer 1

分析：（1）求出∠QPB=90°，關鍵含30度角的直角三角形性質求出BP=

1

2

BQ，代入求出即可；
（2）求出AE=EF，證△PFD≌∠QCD，推出DF=CD，即可得出答案．

解答：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=6，∠B=60°，
∵∠DQC=30°，
∴∠QPB=90°，
∴BP=

1

2

BQ，
設AP=CQ=a，
則6-a=

1

2

（6+a），
a=2，
即AP=2；

（2）
證明：過P作PF∥BC交AC于F，
則∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴AP=AF=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵PE⊥AC，AP=PF，
∴AE=EF，
∵PF∥BC，
∴∠PFD=?DCQ，
在△PFD和△QCD中

∠FDP=∠CDQ ∠PFD=∠QCD PF=CQ

∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴DF=CD，
∴DE=EF+DF=AE+CD．

點評：本題考查了等邊三角形性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形性質，平行線性質的應用，主要考查學生的推理能力．