Question

方程x²-6x-k=1與x²-kx-7=0有相同的根，求k值及相同的根．

Answer 1

【答案】分析：要分類討論：（1）只有一個(gè)根相同，消去二次，得到關(guān)于m的一元一次方程求解；（2）方程有兩個(gè)相同的根，這兩個(gè)方程一樣，易求得k的值，再解方程得到相同的根．
解答：解：（1）設(shè)方程只有一個(gè)根相同，設(shè)相同的根是m．
∴有m²-6m-k-1=0，①
m²-mk-7=0，②
①-②得（k-6）m=k-6，
∵m只有一個(gè)值，
∴k≠6，則m=1．
∴m=l代入①得k=-6．
（2）設(shè)方程有兩個(gè)相同的根，則有-k=-6且-k-l=-7，
∴k=6．此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根為x₁=7，x₂=-1．
∴k=-6時(shí)，方程有一個(gè)相同的根是x=1；k=6時(shí)，方程有兩個(gè)相同的根是x₁=7，x₂=-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩個(gè)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）有相同根的解法．首先要討論相同根的個(gè)數(shù)，若有兩個(gè)相同根，則兩個(gè)方程可化為一樣；若只有一個(gè)相同根，則轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．另一種解法為直接消去二次，得到不定方程，然后再分類討論解的問題．