Question

【題目】閱讀理解：

如圖①，點C將線段AB分成兩部分，若，則點C為線段AB的黃金分割點．

某研究學(xué)習(xí)小組，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，從而給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

問題解決：

如圖②，在△ABC中，已知D是AB的黃金分割點．

(1)研究小組猜想：直線CD是△ABC的黃金分割線，你認(rèn)為對嗎？為什么？

(2)請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

(3)研究小組探究發(fā)現(xiàn)：過點C作直線交AB于點E，過點D作DF∥CE，交AC于點F，連接EF(如圖③)，則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．

Answer 1

【答案】(1)對．理由見解析；（2）三角形的中線不是該三角形的黃金分割線．（3）直線EF也是△ABC的黃金分割線．

【解析】（1）根據(jù)黃金分割的定義得，再根據(jù)三角形面積公式得到，，所以，然后根據(jù)黃金直線的定義得直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和三角形面積公式得到，而＜1，由此可根據(jù)黃金直線的定義判斷三角形的中線不是該三角形的黃金分割線；

（3）根據(jù)兩平行線之間的距離定值，得到S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，則S△AEF=S△ADC，S四邊形BEFC=S△BDC，然后由得到，則可根據(jù)黃金直線的定義判斷直線EF也是△ABC的黃金分割線．

（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

∵點D是AB的黃金分割點，

∴，

∵，，

∴，

∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）∵三角形的中線把AB分成相等的兩條線段，即AD=BD，

∴，，

∴三角形的中線不是該三角形的黃金分割線；

（3）∵DF∥CE，

∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，

∴S△AEF=S△ADC，S四邊形BEFC=S△BDC，

∵，

∴，

∴直線EF是△ABC的黃金分割線．