Question

（2012•肇慶）已知反比例函數(shù)y=

k-1

x

圖象的兩個分支分別位于第一、第三象限．
（1）求k的取值范圍；
（2）若一次函數(shù)y=2x+k的圖象與該反比例函數(shù)的圖象有一個交點的縱坐標是4．
①求當x=-6時反比例函數(shù)y的值；
②當0＜x＜

1

2

時，求此時一次函數(shù)y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由反比例函數(shù)圖象過第一、三象限，得到反比例系數(shù)k-1大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍；
（2）①將一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組，由一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點縱坐標為4，將y=4代入一次函數(shù)及反比例函數(shù)解析式，用k表示出x，兩種相等得到關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出反比例函數(shù)解析式，然后將x=-6代入求出的反比例函數(shù)解析式中即可求出對應(yīng)的函數(shù)值y的值；
②將求出的k值代入一次函數(shù)解析式中，確定出解析式，應(yīng)y表示出x，根據(jù)x的范圍列出關(guān)于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y(tǒng)的取值范圍．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)圖象兩支分別位于第一、三象限，
∴k-1＞0，
解得：k＞1；

（2）①聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式得：

y= k-1 x ① y=2x+k②

，
∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點縱坐標為4，
∴將y=4代入①得：4x=k-1，即x=

k-1

4

，
將y=4代入②得：2x+k=4，即x=

4-k

2

，
∴

k-1

4

=

4-k

2

，即k-1=2（4-k），
解得：k=3，
∴反比例解析式為y=

2

x

，
當x=-6時，y=

2

-6

=-

1

3

；
②由k=3，得到一次函數(shù)解析式為y=2x+3，即x=

y-3

2

，
∵0＜x＜

1

2

，∴0＜

y-3

2

＜

1

2

，
解得：3＜y＜4，
則一次函數(shù)y的取值范圍是3＜y＜4．

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)．反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0），當k＞0時函數(shù)圖象位于第一、三象限；當k＜0時，函數(shù)圖象位于第二、四象限．