Question

【題目】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD．

（1）求證：；

（2）點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AF，與BD相交于點(diǎn)G．如果∠BAF =∠DBF，求證：．

Answer 1

【答案】（1）參見(jiàn)解析；（2）參見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件和同角的余角相等得出∠ACD=∠CBD．再根據(jù)∠ADC=∠BCD=90．因?yàn)閮山菍?duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似，所以△ACD∽△DBC．相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，所以，從而得出結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)和等量代換得出∠ADB=∠BAF．從而判定△ABG∽△DBA．得出，即，又因?yàn)?/span>，得出，代入前面的式子中即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵AD//BC，∠BCD=90，∴∠ADC=∠BCD=90．又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90．∴∠ACD=∠CBD．∴△ACD∽△DBC．∴，即；（2）∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBF．∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF．∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA．∴．兩邊同時(shí)平方得：．又由于△ABG∽△DBA，∴．

∴．∴．