Question

已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B（-1，0），P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合）
（1）求點(diǎn)A、E的坐標(biāo)；
（2）若y=-

6 3

7

x²+bx+c過點(diǎn)A、E，求拋物線的解析式；
（3）連接PB、PD，設(shè)L為△PBD的周長(zhǎng)，當(dāng)L取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及L的最小值，并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說明你的判斷理由．

Answer 1

分析：（1）△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則BC=4，而點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BD=2，點(diǎn)B（-1，0），則OD=1，就可以求出A的橫坐標(biāo)，等邊三角形的高線長(zhǎng)，就是A的縱坐標(biāo)．在直角三角形OBE中，根據(jù)三角函數(shù)可以求出OE的長(zhǎng)，即得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（2）已經(jīng)求出A，E的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，即△PBD的周長(zhǎng)L取最小值．根據(jù)三角函數(shù)求的D′的坐標(biāo)，再求出直線BD′的解析式，以及直線AC的解析式，兩直線的交點(diǎn)就是P的坐標(biāo)．把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，就可以判斷是否在函數(shù)的圖象上．

解答：解：（1）連接AD，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，又B的坐標(biāo)為（-1，0），BC在x軸上，A在第一象限，
∴點(diǎn)C在x軸的正半軸上，
∴C的坐標(biāo)為（3，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：D的坐標(biāo)為（1，0）．
顯然AD⊥BC且AD=

3

BD=2

3

，
∴A的坐標(biāo)是（1，2

3

）．
OE=

1

2

AD，得E（0，

3

）；

（2）因?yàn)閽佄锞�y=-

6 3

7

x²+bx+c過點(diǎn)A、E，
由待定系數(shù)法得：c=

3

，b=

13 3

7

，
拋物線的解析式為y=-

6 3

7

x2+

13 3

7

x+

3

；

（3）大家記得這樣一個(gè)常識(shí)嗎？
“牽牛從點(diǎn)A出發(fā)，到河邊l喝水，再到點(diǎn)B處吃草，走哪條路徑最短”即確定l上的點(diǎn)P，
方法是作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B與l的交點(diǎn)P即為所求．
本題中的AC就是“河”，B、D分別為“出發(fā)點(diǎn)”和“草地”．
由引例并證明后，得先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，
連接BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，
即△PBD的周長(zhǎng)L取最小值．
∵D、D′關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF=

3

，DD'=2

3

，
求得點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4，

3

），
直線BD'的解析式為：y=

3

5

x+

3

5

，
直線AC的解析式為：y=-

3

x+3

3

，
求直線BD'與AC的交點(diǎn)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)（

7

3

，

2 3

3

）．
此時(shí)BD'=

BG2+D′G2

=

52+( 3 )2

=2

7

，
所以△PBD的最小周長(zhǎng)L為2

7

+2，
把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=-

6 3

7

x2+

13 3

7

x+

3

成立，所以此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求兩條線段的和最小的問題，一般是轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題．