Question

【題目】已知：正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別在邊AD，邊AB的延長線上，且DE=BF．

（1）如圖1，連接CE，CF，EF，請判斷△CEF的形狀；

（2）如圖2，連接EF交BD于M，當DE=2時，求AM的長；

（3）如圖3，點G，H分別在邊AB，邊CD上，且GH=3，當EF與GH的夾角為45°時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）△CEF是等腰直角三角形，理由見解析；（2）；（3）3.

【解析】（1）如圖1，△CEF是等腰直角三角形，理由是：

在正方形ABCD中，BC=DC，∠FBC=∠D=90°，

∵BF=DE，

∴△FBC≌△EDC，

∴CF=CE，∠ECD=∠FCB，

∴∠ECF=∠ECB+∠FCB=∠ECB+∠ECD=90°，

∴△CEF是等腰直角三角形；

（2）如圖2，過E作EN∥AB，交BD于N，則EN=ED=2，

∵BN∥AD，

∴∠F=∠MEN，

∵∠BMN=∠EMN，

∴△FBM≌△ENM，

∴EM=FM，

在Rt△EAF中，EF==4，

∴AM=EF=2；

（3）如圖3，連接EC和FC，

由（1）得∠EFC=45°，

∵∠EMH=45°，

∴∠EFC=∠EMH，

∴GH∥FC，

∵AF∥DC，

∴四邊形FCHG是平行四邊形，

∴FC=GH=3，

由勾股定理得：BF==3，

∴DE=BF=3．